欧拉法（Euler Method） 是一种用于求解常微分方程（ODE）的数值方法，是最简单、最基础的数值积分方法之一。它的核心思想是通过离散化时间步长，用线性近似来逐步求解微分方程。

欧拉法的基本思想

假设我们有一个常微分方程：

$$\frac{dy}{dt} = f(t, y)$$

其中：

• $y$ 是待求解的函数（状态变量），

• $t$ 是时间，

• $f(t, y)$ 是已知的函数（微分方程的右侧）。

欧拉法的目标是从初始条件 $y(t_0) = y_0$ 开始，逐步计算 $y$ 在离散时间点 $t_1, t_2, \dots, t_n$ 上的值。

欧拉法的公式

欧拉法的更新公式为：

$$y_{n+1} = y_n + h \cdot f(t_n, y_n)$$

其中：

• $y_n$ 是 $y$ 在时间 $t_n$ 的近似值，

• $h$ 是时间步长（$h = t_{n+1} – t_n$），

• $f(t_n, y_n)$ 是微分方程在 $(t_n, y_n)$ 处的斜率。

欧拉法的几何意义

欧拉法的本质是用当前点的斜率 $f(t_n, y_n)$ 来线性外推下一个点的值 $y_{n+1}$。它假设在时间步长 $h$ 内，斜率保持不变。

欧拉法的特点

1. 简单易实现：欧拉法是最简单的数值积分方法，容易理解和编程。

2. 低精度：欧拉法是一阶方法，误差与步长 $h$ 成正比（全局误差为 $O(h)$）。因此，它的精度较低，尤其是当步长较大时。

3. 稳定性问题：对于某些微分方程（特别是刚性方程），欧拉法可能不稳定，导致数值解发散。

欧拉法的改进

由于欧拉法的精度和稳定性有限，实际应用中通常会使用更高阶的方法，例如：

• 改进欧拉法（Heun’s Method）：一种二阶方法，通过预测-校正步骤提高精度。

• 龙格-库塔法（Runge-Kutta Methods）：高阶方法，如经典的 4 阶龙格-库塔法（RK4），具有更高的精度和稳定性。

• 隐式方法：如隐式欧拉法，适用于刚性方程。

在代码中的应用

在代码中，欧拉法用于求解温室系统的动态模型：

solveEuler(mEuler, 1);

这里：

• mEuler 是动态模型对象，

• 1 是时间步长（1 小时）。

欧拉法通过逐步更新状态变量（如植物干重和温室温度）来模拟系统的动态行为。

总结

欧拉法是一种基础的数值方法，适用于简单的微分方程求解。虽然它的精度和稳定性有限，但由于其简单性，常用于教学和初步分析。在实际工程和科学计算中，通常会使用更高阶的方法来提高精度和稳定性。