Hermite 插值多项式 是一种插值方法，它不仅要求插值函数通过给定的数据点，还要求插值函数在数据点处的导数与给定值匹配。这种方法在插值的同时，能够更好地控制插值函数的形状和光滑性。

Hermite 插值的特点：

1. 函数值和导数匹配：
   • Hermite 插值不仅要求插值函数通过给定的数据点，还要求插值函数在数据点处的导数与给定值一致。
   • 这使得 Hermite 插值能够更好地反映数据的局部变化趋势。
2. 高阶光滑性：
   • Hermite 插值的结果通常是分段多项式，具有较高的光滑性（如 C1 或 C2 连续）。
3. 局部性：
   • Hermite 插值的每个区间只依赖于相邻的数据点及其导数，因此对局部数据的变化更敏感。

Hermite 插值的数学原理：

Hermite 插值通过以下步骤实现：

1. 给定数据：
   • 设有一组数据点

     $(x_i, y_i)$(xi​,yi​)，以及每个数据点处的导数值

     $y_i’$yi′​。

2. 构建插值多项式：
   • 在每个区间

     $[x_i, x_{i+1}]$[xi​,xi+1​] 内，构建一个满足以下条件的三次多项式：

     • 通过两个端点的函数值：

       $P(x_i) = y_i$P(xi​)=yi​，

       $P(x_{i+1}) = y_{i+1}$P(xi+1​)=yi+1​。

     • 匹配两个端点的导数值：

       $P'(x_i) = y_i’$P′(xi​)=yi′​，

       $P'(x_{i+1}) = y_{i+1}’$P′(xi+1​)=yi+1′​。

3. 确定多项式系数：
   • 通过求解线性方程组，确定每个区间内的三次多项式系数。
4. 插值计算：
   • 对于给定的插值点，找到其所在的区间，并使用对应的三次多项式计算插值结果。

Hermite 插值的公式：

对于区间

$[x_i, x_{i+1}]$[xi​,xi+1​]，Hermite 插值多项式可以表示为：

$$P(x) = y_i H_0(t) + y_{i+1} H_1(t) + y_i’ H_2(t) + y_{i+1}’ H_3(t)$$P(x)=yi​H0​(t)+yi+1​H1​(t)+yi′​H2​(t)+yi+1′​H3​(t)

其中：

•  

  $t = \frac{x – x_i}{x_{i+1} – x_i}$t=xi+1​−xi​x−xi​​ 是归一化的区间参数。

•  

  $H_0(t)$H0​(t)、

  $H_1(t)$H1​(t)、

  $H_2(t)$H2​(t)、

  $H_3(t)$H3​(t) 是 Hermite 基函数，定义为：

   

  $$H_0(t) = 2t^3 – 3t^2 + 1$$H0​(t)=2t3−3t2+1

  $$H_1(t) = -2t^3 + 3t^2$$H1​(t)=−2t3+3t2

  $$H_2(t) = t^3 – 2t^2 + t$$H2​(t)=t3−2t2+t

  $$H_3(t) = t^3 – t^2$$H3​(t)=t3−t2

Hermite 插值的 MATLAB 实现：

MATLAB 中的 pchip 函数就是基于 Hermite 插值的原理实现的。以下是一个简单的 Hermite 插值示例：

% 数据点
x = [0, 1, 2, 3];
y = [0, 1, 0, -1];
dy = [1, -1, 1, -1]; % 导数值

% 插值点
xi = 0:0.1:3;

% Hermite 插值
yi = interp1(x, [y; dy], xi, 'pchip');

% 绘制结果
plot(x, y, 'o', xi, yi, '-');
legend('原始数据', 'Hermite 插值');

Hermite 插值的应用场景：

1. 数据保形：
   • Hermite 插值能够保持数据的单调性和形状，适合需要保形的应用场景。
2. 光滑插值：
   • Hermite 插值的结果是光滑的，适合需要连续性和光滑性的应用。
3. 局部数据变化：
   • Hermite 插值对局部数据的变化更敏感，适合处理非均匀分布的数据。

总结：

Hermite 插值是一种通过函数值和导数匹配的插值方法，能够生成光滑且保形的插值结果。它在数据处理、数值分析和科学计算中有广泛应用，特别是在需要保持数据形状和光滑性的场景中。MATLAB 中的 pchip 函数就是基于 Hermite 插值的原理实现的。