pchip 是 MATLAB 中的一种插值方法，全称为 Piecewise Cubic Hermite Interpolating Polynomial（分段三次 Hermite 插值多项式）。它是一种保形插值方法，能够在插值的同时保持数据的单调性和平滑性。

pchip 的特点：

1. 保形性：

   • pchip 插值会保持数据的单调性。如果原始数据在某个区间内是单调递增或递减的，插值结果也会保持这种单调性。

   • 这与一般的三次样条插值（如 spline）不同，后者可能会在数据点之间产生不必要的振荡。

2. 平滑性：

   • pchip 插值的结果是分段三次多项式，具有一阶导数连续性（C1 连续），即插值函数在数据点处是平滑的。

3. 局部性：

   • pchip 插值只依赖于相邻的数据点，因此对局部数据的变化更敏感，适合处理非均匀分布的数据。

pchip 的数学原理：

pchip 插值通过以下步骤实现：

1. 计算斜率：

   • 在每个数据点处，计算其左右两侧的斜率（导数）。

   • 通过加权平均或其他方法确定每个数据点的导数值。

2. 构建分段三次多项式：

   • 在每个区间内，使用两个端点的函数值和导数值构建一个三次多项式。

   • 确保相邻区间的多项式在连接点处函数值和一阶导数连续。

3. 插值计算：

   • 对于给定的插值点，找到其所在的区间，并使用对应的三次多项式计算插值结果。

pchip 的使用场景：

• 数据保形：当需要插值结果保持原始数据的单调性或形状时，pchip 是一个很好的选择。

• 非均匀数据：pchip 对数据点的分布不敏感，适合处理非均匀分布的数据。

• 平滑插值：pchip 生成的插值函数是平滑的，适合需要连续性和平滑性的应用。

pchip 的 MATLAB 用法：

在 MATLAB 中，pchip 的使用方法如下：

yi = pchip(x, y, xi);

• 输入：

  • x：原始数据的自变量（时间或位置等）。

  • y：原始数据的因变量（温度、辐射等）。

  • xi：需要插值的点。

• 输出：

  • yi：插值结果。

示例：

假设有以下数据：

x = [0, 1, 2, 3, 4];
y = [0, 1, 0, -1, 0];
xi = 0:0.1:4;
yi = pchip(x, y, xi);

• x 和 y 是原始数据点。

• xi 是需要插值的点。

• yi 是插值结果。

绘制结果：

plot(x, y, 'o', xi, yi, '-');
legend('原始数据', 'pchip 插值');

与 spline 的比较：

总结：

pchip 是一种保形插值方法，适合需要保持数据单调性和平滑性的场景。在天气数据处理中，pchip 可以用于将低分辨率数据（如 1 小时间隔）插值为高分辨率数据（如 5 分钟间隔），同时保持数据的物理意义和形状。