显式 Runge-Kutta (4,5) 方法（Dormand-Prince 对）是什么？

显式 Runge-Kutta (4,5) 方法（Dormand-Prince 对） 是一种常用的数值积分方法，用于求解常微分方程（ODEs）。它是 Runge-Kutta 方法的一种变体，属于显式方法，适用于非刚性问题。MATLAB 中的 ode45 求解器就是基于这种方法实现的。

1. Runge-Kutta 方法简介

Runge-Kutta 方法是一类迭代数值方法，用于求解常微分方程的初值问题。其基本思想是通过多个阶段（stage）的加权平均来逼近微分方程的解，从而提高精度。

显式 Runge-Kutta 方法：每个阶段的值仅依赖于当前步的信息。
隐式 Runge-Kutta 方法：每个阶段的值依赖于当前步和下一步的信息，适用于刚性问题。

2. Dormand-Prince 对

Dormand-Prince 对是一种特定的显式 Runge-Kutta 方法，具有以下特点：

嵌入对（Embedded Pair）：
- 该方法同时计算两个不同阶数的解：一个 4 阶解和一个 5 阶解。
- 通过比较这两个解，可以估计局部截断误差（local truncation error），从而实现自适应步长控制。
自适应步长控制：
- 根据局部截断误差的估计值，动态调整步长。
- 如果误差较大，则减小步长以提高精度。
- 如果误差较小，则增大步长以提高计算效率。
高效性：
- Dormand-Prince 对在计算 5 阶解时，利用了 4 阶解的部分计算结果，减少了额外的函数求值次数，从而提高了计算效率。

3. 方法的具体形式

Dormand-Prince 对的具体形式由一组系数定义，包括：

阶段数（通常为 7 个阶段）。
每个阶段的权重系数。
用于计算 4 阶解和 5 阶解的系数。

这些系数是通过数学推导和优化得到的，以确保方法的精度和稳定性。

4. 方法的优势

高精度：
- 5 阶解具有较高的精度，适用于大多数非刚性问题。
自适应步长：
- 通过嵌入对实现自适应步长控制，能够在解变化较快时自动减小步长，在解变化较慢时增大步长。
计算效率：
- 通过共享部分计算结果，减少了函数求值次数，提高了计算效率。

5. 在 MATLAB 中的应用

MATLAB 中的 ode45 求解器就是基于 Dormand-Prince 对实现的。它是 MATLAB 中最常用的 ODE 求解器，适用于大多数非刚性问题。

使用方法：
matlab

复制
```
[t, y] = ode45(@odefun, tspan, y0, options);
```
- @odefun：ODE 函数的句柄。
- tspan：时间范围。
- y0：初始条件。
- options：可选参数，用于设置求解器的选项（如容差、最大步长等）。
特点：
- 默认情况下，ode45 使用自适应步长控制。
- 适用于中等精度的非刚性问题。

6. 总结

显式 Runge-Kutta (4,5) 方法（Dormand-Prince 对）是一种高效、高精度的数值积分方法，适用于非刚性常微分方程的求解。它的核心思想是通过嵌入对实现自适应步长控制，从而在保证精度的同时提高计算效率。MATLAB 中的 ode45 求解器就是基于这种方法实现的，是求解非刚性 ODE 问题的首选工具。