为了更直观地展示线性关系和非线性关系的差异，我们可以通过散点图来比较这两种情况。以下是改进后的 MATLAB 代码，包含散点图的绘制：

MATLAB 代码

% 生成数据
x = -10:0.1:10;  % 自变量 x

% 线性关系
y_linear = 2 * x;

% 非线性关系
y_nonlinear = x.^2;

% 计算皮尔逊相关系数
r_linear = corrcoef(x, y_linear);
r_nonlinear = corrcoef(x, y_nonlinear);

% 显示结果
fprintf('线性关系的皮尔逊相关系数: %.4f\n', r_linear(1, 2));
fprintf('非线性关系的皮尔逊相关系数: %.4f\n', r_nonlinear(1, 2));

% 绘制散点图
figure;

% 线性关系
subplot(1, 2, 1);
scatter(x, y_linear, 50, 'b', 'filled');  % 蓝色散点图
title(sprintf('线性关系 (r = %.4f)', r_linear(1, 2)));
xlabel('x');
ylabel('y = 2x');
grid on;

% 非线性关系
subplot(1, 2, 2);
scatter(x, y_nonlinear, 50, 'r', 'filled');  % 红色散点图
title(sprintf('非线性关系 (r = %.4f)', r_nonlinear(1, 2)));
xlabel('x');
ylabel('y = x^2');
grid on;

代码说明

1. 生成数据：
   • 对于线性关系，

     $y = 2x$y=2x。

   • 对于非线性关系，

     $y = x^2$y=x2。

2. 计算皮尔逊相关系数：
   • 使用 corrcoef 函数计算

     $x$x 和

     $y$y 之间的皮尔逊相关系数。

3. 绘制散点图：
   • 使用 scatter 函数分别绘制线性关系和非线性关系的散点图。
   • 线性关系使用蓝色散点，非线性关系使用红色散点。
   • 在标题中显示皮尔逊相关系数。

运行结果

1. 线性关系

• 皮尔逊相关系数：

  $r = 1.0000$r=1.0000。

• 散点图：所有点都落在一条直线上，表明

  $x$x 和

  $y$y 之间存在完美的线性正相关关系。

2. 非线性关系

• 皮尔逊相关系数：

  $r \approx 0.0000$r≈0.0000。

• 散点图：所有点落在一条抛物线上，表明

  $x$x 和

  $y$y 之间存在明显的非线性关系，但皮尔逊相关系数接近 0。

散点图展示

• 线性关系：
  • 散点图呈现一条直线，表明

    $x$x 和

    $y$y 之间存在线性关系。

  • 皮尔逊相关系数为 1，完美反映了这种线性关系。
• 非线性关系：
  • 散点图呈现一条抛物线，表明

    $x$x 和

    $y$y 之间存在非线性关系。

  • 皮尔逊相关系数接近 0，未能反映这种非线性关系。

总结

通过散点图的比较，我们可以更直观地看到：

• 皮尔逊相关系数能够准确反映线性关系（散点图呈直线）。
• 皮尔逊相关系数无法反映非线性关系（散点图呈抛物线，但相关系数接近 0）。

因此，在实际数据分析中，除了计算皮尔逊相关系数外，还应结合散点图等可视化工具，全面分析变量之间的关系。