MATLAB 提供了多种 ODE（常微分方程）求解器，适用于不同类型的微分方程问题。以下是 MATLAB 中常用的 ODE 求解器及其适用场景：

1. 非刚性方程求解器

适用于非刚性（non-stiff）问题，即方程的解变化较为平滑，没有快速变化的成分。

• ode45

  • 基于显式 Runge-Kutta (4,5) 方法（Dormand-Prince 对）。

  • 是 MATLAB 中最常用的求解器。

  • 适用于大多数非刚性问题的首选求解器。

  • 中等精度，适合首次尝试。

• ode23

  • 基于显式 Runge-Kutta (2,3) 方法（Bogacki-Shampine 对）。

  • 比 ode45 更低阶，适用于精度要求较低的问题。

  • 适用于轻度非刚性问题，计算速度较快。

• ode113

  • 基于可变阶数的 Adams-Bashforth-Moulton 方法。

  • 适用于精度要求较高的非刚性问题。

  • 比 ode45 更适合长时间积分或需要高精度的问题。

2. 刚性方程求解器

适用于刚性（stiff）问题，即方程的解包含快速变化的成分，导致非刚性求解器效率低下或失败。

• ode15s

  • 基于可变阶数的数值微分公式（NDF）。

  • 是 MATLAB 中最常用的刚性求解器。

  • 适用于大多数刚性问题的首选求解器。

  • 可以处理中等程度的刚性。

• ode23s

  • 基于修正的 Rosenbrock 方法。

  • 适用于高度刚性问题，但精度较低。

  • 适合对计算速度要求较高的问题。

• ode23t

  • 基于梯形规则的隐式方法。

  • 适用于中等刚性问题，特别是需要保持能量守恒的问题。

  • 适合求解微分代数方程（DAEs）。

• ode23tb

  • 基于隐式 Runge-Kutta 方法（TR-BDF2）。

  • 适用于高度刚性问题，特别是当 ode15s 效率较低时。

3. 其他求解器

适用于特定类型的问题。

• ode15i

  • 用于求解完全隐式的微分方程（Fully Implicit ODEs）。

  • 适用于形式为 $F(t, y, y’) = 0$ 的方程。

• ode78 和 ode89

  • 基于高阶 Runge-Kutta 方法（7,8 和 8,9 阶）。

  • 适用于高精度要求的非刚性问题。

  • 计算量较大，适合对精度要求极高的问题。

选择 ODE 求解器的建议

1. 非刚性问题：

   • 首选 ode45（中等精度，通用性强）。

   • 如果需要更高精度，尝试 ode113。

   • 如果需要快速求解，尝试 ode23。

2. 刚性问题：

   • 首选 ode15s（通用性强，适用于大多数刚性问题）。

   • 如果 ode15s 效率较低，尝试 ode23s 或 ode23tb。

   • 如果需要保持能量守恒，尝试 ode23t。

3. 完全隐式方程：

   • 使用 ode15i。

4. 高精度要求：

   • 使用 ode78 或 ode89。

参考文档

• MATLAB 官方文档：Choose an ODE Solver

• MATLAB 官方文档：ODE Solvers

通过合理选择 ODE 求解器，可以显著提高微分方程求解的效率和精度。