前向欧拉法（Forward Euler）是一种显式数值方法，用于求解常微分方程（ODEs）。它通过离散化时间步长来近似解，适用于形如：

$$\frac{dy}{dt} = f(t, y)$$

的微分方程，其中 $y(t)$ 是未知函数，$f(t, y)$ 是已知函数。

方法步骤

1. 离散时间：将时间 $t$ 离散为 $t_0, t_1, t_2, \ldots$，步长为 $h = t_{n+1} – t_n$。

2. 迭代公式：利用当前步的值 $y_n$ 计算下一步的近似值 $y_{n+1}$：

   $$y_{n+1} = y_n + h \cdot f(t_n, y_n)$$

特点

• 显式方法：$y_{n+1}$ 直接由当前信息计算，无需解方程。

• 一阶精度：局部截断误差为 $O(h^2)$，全局误差为 $O(h)$。

• 简单易实现：计算量小，适合初步应用。

稳定性

• 条件稳定：步长 $h$ 需满足稳定性条件，否则解可能发散。

• 刚性方程：对刚性方程，步长限制较严，可能导致效率低下。

应用

常用于简单ODE的初步求解，或作为其他复杂方法的初始步骤。

示例

求解 $\frac{dy}{dt} = -2y$，初值 $y(0) = 1$，步长 $h = 0.1$：

1. $t_0 = 0$, $y_0 = 1$

2. $t_1 = 0.1$, $y_1 = y_0 + h \cdot (-2y_0) = 1 + 0.1 \cdot (-2 \cdot 1) = 0.8$

3. 继续迭代，得到后续近似值。

总结

前向欧拉法是一种简单但精度和稳定性有限的方法，适用于非刚性方程的初步求解。