梯形法（Trapezoidal Rule）是一种数值积分方法，用于近似计算定积分。它通过将被积函数在积分区间上的曲线近似为梯形来估计积分值。梯形法在数值分析和科学计算中广泛应用，因为它简单且具有较好的精度。

基本思想

梯形法的基本思想是将积分区间

$[a, b]$[a,b] 划分为若干个子区间，然后在每个子区间上用梯形面积来近似曲线下的面积。将所有梯形的面积相加，得到整个积分的近似值。

公式

对于函数

$f(x)$f(x) 在区间

$[a, b]$[a,b] 上的定积分，梯形法的公式为：

$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{2} \left[ f(a) + 2 \sum_{i=1}^{n-1} f(a + ih) + f(b) \right]$$∫ab​f(x)dx≈2h​[f(a)+2i=1∑n−1​f(a+ih)+f(b)]
其中：

•  

  $h = \frac{b – a}{n}$h=nb−a​ 是每个子区间的宽度，

•  

  $n$n 是子区间的数量，

•  

  $a + ih$a+ih 是第

  $i$i 个子区间的右端点。

步骤

1. 划分区间：将区间

   $[a, b]$[a,b] 划分为

   $n$n 个等宽的子区间。

2. 计算函数值：计算每个子区间端点的函数值

   $f(a + ih)$f(a+ih)。

3. 应用梯形公式：使用梯形公式计算每个子区间的面积，并将它们相加。

特点

• 二阶精度：梯形法的误差为

  $O(h^2)$O(h2)，即误差随步长

  $h$h 的平方减小。

• 简单易实现：梯形法计算简单，易于编程实现。
• 适用性广：适用于大多数连续函数的积分计算。

示例

计算函数

$f(x) = x^2$f(x)=x2 在区间

$[0, 1]$[0,1] 上的积分，使用梯形法。

1. 划分区间：选择

   $n = 4$n=4，则

   $h = \frac{1 – 0}{4} = 0.25$h=41−0​=0.25。

2. 计算函数值：
   •  

     $f(0) = 0$f(0)=0

   •  

     $f(0.25) = 0.0625$f(0.25)=0.0625

   •  

     $f(0.5) = 0.25$f(0.5)=0.25

   •  

     $f(0.75) = 0.5625$f(0.75)=0.5625

   •  

     $f(1) = 1$f(1)=1

3. 应用梯形公式：

    

   $$\int_{0}^{1} x^2 \, dx \approx \frac{0.25}{2} \left[ 0 + 2(0.0625 + 0.25 + 0.5625) + 1 \right] = 0.34375$$∫01​x2dx≈20.25​[0+2(0.0625+0.25+0.5625)+1]=0.34375

MATLAB 代码实现

% 参数设置
a = 0; % 积分下限
b = 1; % 积分上限
n = 4; % 子区间数量
h = (b - a) / n; % 步长

% 函数定义
f = @(x) x.^2;

% 计算梯形法积分
x = a:h:b; % 划分区间
y = f(x); % 计算函数值
integral_value = (h/2) * (y(1) + 2*sum(y(2:end-1)) + y(end));

% 输出结果
fprintf('梯形法计算的积分值: %.5f\n', integral_value);

总结

梯形法是一种简单且有效的数值积分方法，具有二阶精度。它通过将积分区间划分为若干个子区间，并在每个子区间上用梯形面积来近似曲线下的面积。梯形法适用于大多数连续函数的积分计算，并且在科学和工程计算中广泛应用。