牛顿迭代法（Newton’s Method），也称为牛顿-拉夫森方法（Newton-Raphson Method），是一种用于求解非线性方程的数值方法。它的核心思想是通过迭代逼近方程的根，利用函数的导数信息来加速收敛。

1. 基本思想

牛顿迭代法通过线性近似来逼近非线性方程的根。具体来说，它利用函数在当前点的切线来估计下一个近似解。

对于一个非线性方程：

$$f(x) = 0$$

牛顿迭代法的更新公式为：

$$x_{n+1} = x_n – \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

其中：

• $x_n$ 是当前近似解；

• $f(x_n)$ 是函数在 $x_n$ 处的值；

• $f'(x_n)$ 是函数在 $x_n$ 处的导数；

• $x_{n+1}$ 是下一个近似解。

2. 几何解释

牛顿迭代法的几何意义是通过当前点 $(x_n, f(x_n))$ 的切线与 $x$-轴的交点来更新近似解：

1. 计算当前点 $(x_n, f(x_n))$ 的切线方程：

   $$y = f'(x_n)(x – x_n) + f(x_n)$$

2. 求切线与 $x$-轴的交点（即 $y = 0$）：

   $$0 = f'(x_n)(x_{n+1} – x_n) + f(x_n)$$

3. 解出 $x_{n+1}$：

   $$x_{n+1} = x_n – \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

3. 算法步骤

1. 选择一个初始猜测值 $x_0$。

2. 计算 $f(x_n)$ 和 $f'(x_n)$。

3. 更新近似解：

   $$x_{n+1} = x_n – \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

4. 检查收敛条件（如 $|x_{n+1} – x_n| < \epsilon$ 或 $|f(x_{n+1})| < \epsilon$），如果满足则停止迭代，否则继续迭代。

4. 优点与缺点

优点：

• 收敛速度快：如果初始猜测值接近真实根，牛顿迭代法通常具有二次收敛速度。

• 适用范围广：可以用于求解各种非线性方程。

缺点：

• 依赖初始猜测值：如果初始猜测值离真实根较远，可能不收敛或收敛到错误的根。

• 需要计算导数：需要知道函数的导数 $f'(x)$，对于复杂函数可能难以计算。

• 可能发散：如果函数在迭代过程中出现导数为零或接近零的情况，可能导致迭代失败。

5. 示例

求解方程 $f(x) = x^2 – 2 = 0$ 的根（即 $\sqrt{2}$）。

1. 定义函数和导数：

   $$f(x) = x^2 – 2, \quad f'(x) = 2x$$

2. 选择初始猜测值 $x_0 = 1$。

3. 迭代更新：

   • 第一次迭代：

     $$x_1 = x_0 – \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = 1 – \frac{1^2 – 2}{2 \cdot 1} = 1.5$$

   • 第二次迭代：

     $$x_2 = x_1 – \frac{f(x_1)}{f'(x_1)} = 1.5 – \frac{1.5^2 – 2}{2 \cdot 1.5} \approx 1.4167$$

   • 第三次迭代：

     $$x_3 = x_2 – \frac{f(x_2)}{f'(x_2)} \approx 1.4142$$

4. 结果：经过几次迭代，$x_n$ 逼近 $\sqrt{2} \approx 1.4142$。

6. 在隐式方法中的应用

在隐式方法（如后向欧拉法）中，牛顿迭代法用于求解非线性方程。例如，对于后向欧拉法：

$$y_{n+1} = y_n + h \cdot f(t_{n+1}, y_{n+1})$$

这里 $y_{n+1}$ 是未知的，需要通过牛顿迭代法求解：

1. 定义方程：

   $$F(y_{n+1}) = y_{n+1} – y_n – h \cdot f(t_{n+1}, y_{n+1}) = 0$$

2. 使用牛顿迭代法更新 $y_{n+1}$：

   $$y_{n+1}^{(k+1)} = y_{n+1}^{(k)} – \frac{F(y_{n+1}^{(k)})}{F'(y_{n+1}^{(k)})}$$

   其中 $F'(y_{n+1}) = 1 – h \cdot \frac{\partial f}{\partial y}$。

总结

牛顿迭代法是一种高效的数值方法，用于求解非线性方程。它的核心思想是通过线性近似和迭代逼近来快速收敛到方程的根。尽管它对初始猜测值和导数计算有较高要求，但在许多科学计算问题中（如隐式微分方程求解）具有重要应用。