在数值求解常微分方程（ODEs）时，局部截断误差和全局误差是衡量数值方法精度的两个重要概念。1. 局部截断误差（Local Truncation Error, LTE）局部截断误差是指在单个时间步内，数值方法引入的误差。具体来说，假设在时间步 tnt_ntn​ 处，数值解 yny_nyn​…

前向欧拉法（Forward Euler）是一种显式数值方法，用于求解常微分方程（ODEs）。它通过离散化时间步长来近似解，适用于形如：dydt=f(t,y)\frac{dy}{dt} = f(t, y)dtdy​=f(t,y)的微分方程，其中 y(t)y(t)y(t) 是未知函数，f(t,y)f(t, y)f(t,y)…

二次收敛速度是数值方法中描述迭代算法收敛速度的一个概念。对于牛顿迭代法，二次收敛速度意味着每迭代一次，误差的平方会减少，从而使得收敛速度非常快。1. 定义设 x∗x^*x∗ 是方程 f(x)=0f(x) = 0f(x)=0 的精确解，xnx_nxn​ 是第 nnn 次迭代的近似解。如果存在常数 C>0C >…

牛顿迭代法（Newton's Method），也称为牛顿-拉夫森方法（Newton-Raphson Method），是一种用于求解非线性方程的数值方法。它的核心思想是通过迭代逼近方程的根，利用函数的导数信息来加速收敛。1. 基本思想牛顿迭代法通过线性近似来逼近非线性方程的根。具体来说，它利用函数在当前点的切线来估计下一个近似解。对于一个非线性方程：…

显式方法和隐式方法是数值求解微分方程的两种主要策略，它们在计算方式和稳定性上有显著区别。1. 显式方法（Explicit Methods）显式方法在计算下一个时间步的解时，只依赖于当前和之前时间步的信息。其特点是计算简单，但稳定性较差，尤其是对于刚性方程。特点：计算方式：直接利用当前步的值计算下一步的值。yn+1=yn+h⋅f(tn,yn)y_{n…

刚性微分方程（Stiff Differential Equations）是指一类在数值求解中表现出特殊困难的微分方程。这类方程的解通常包含多个时间尺度差异较大的分量，即某些分量变化非常快，而其他分量变化相对较慢。这种特性使得在数值求解时需要非常小的时间步长来捕捉快速变化的分量，而为了求解整个时间区间，又需要较大的时间步长来减少计算量。这种矛盾导致常…

ode15s 是 MATLAB 中的一个用于求解刚性微分方程的数值求解器。它基于可变阶的数值微分公式（NDF），适用于处理刚性问题或非刚性问题。主要特点：可变阶：ode15s 使用1到5阶的数值微分公式，可根据求解情况自动调整阶数。刚性问题的适用性：特别适合求解刚性微分方程，这类方程通常包含多个时间尺度差异较大的解分量。隐式方法：采用隐式公式，能有…

在控制系统和信号处理中，除了 Sigmoid 函数，还有许多其他函数可以用于实现平滑的控制响应。这些函数通常具有平滑性、单调性和有界性，能够避免阶跃变化，提供更稳定的控制效果。以下是一些常见的函数及其特点：1. 线性插值函数定义：f(x)={yminif x≤xminymin+(ymax−ymin)(x−xmin)xmax−xminif&…

Sigmoid 函数 是一种常用的数学函数，具有 S 形的曲线特征。它在机器学习、控制系统和神经网络中广泛应用，主要用于将输入值映射到一个平滑的、有界的输出范围内（通常是 0 到 1 或 -1 到 1）。以下是 Sigmoid 函数的详细介绍：1. Sigmoid 函数的定义最常见的 Sigmoid 函数是 Logistic Sigmoid 函数，…

以下是基于之前的例子，计算 调整后的决定系数 (Adjusted R²)、赤池信息准则 (AIC)、贝叶斯信息准则 (BIC)、平均绝对误差 (MAE) 和 最大绝对误差 (Max Error) 的 MATLAB 代码：5. 调整后的决定系数 (Adjusted R²)matlab复制% 计算调整后的决定系数 n = length(y_nonlin…